循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check, CRC）的基本思想是发送方和接收方约定一个除数，被除数是由信息位(n)和校验位(k)组成，最终除法的余数要等于 0

原理

假设数据为 10101011，生成多项式为 10011，求 CRC 码？

多项式就是双方约定的除数 10011

• 最高位次幂为 4
• CRC 码位数由信息位和校验位组成：8 + 4 = 12

由于 CRC 码是 12 位，目前数据为 10101011 只有 8 位，需要左移 4 位（低位补 0），得到 101010110000。

对移位后的数据进行模2除，产生余数：

• 被除数最高位为 1 商 1，为 0 商 0
• 剩余位数进行异或运算
• 最终余数的位数应该比除数的位数少一位

模2除用竖式计算，算出最后的余数为 1010

• 101010110000/10011

  • 10101/10011 = 1 ... 0110
  • 01100/10011 = 0 ... 1100
  • 11001/10011 = 1 ... 1010
  • 10101/10011 = 1 ... 0110
  • 01100/10011 = 0 ... 1100
  • 11000/10011 = 1 ... 1011
  • 10110/10011 = 1 ... 0101
  • 01010/10011 = 0 ... 1010

余数 1010 就是 CRC 码的校验位，加上信息位组合成最终的 CRC 码： 101010111010

用 101010111010 与 10011 相除，最终的余数一定是 0000

检错和纠错

发送的 CRC 码记为：C12C11C10C9C8C7C6C5C4C3C2C1

一位出错(纠错)

把 101010110010代入模2除，得到余数 0100，对应十进制 4，也就是说 C4 处出错了

一位出错(不能纠错)

上面的例子，校验位是 4 位，可以表示 16 种状态，实际的 CRC 码只有 12 位，所以有纠错能力。

如果校验位是 3 位，可以表示 8 种状态，实际的 CRC 码有 9 位，这种情况下就没办法实现纠错了。

假如说现在求得的余数是 010 转换为十进制是 2，能否说明第 2 位出错了呢？

看下面表，010 对应的出错位是 2 和 9，也就是说当第二位或者第九位出错了，余数是一样的，这就导致了我们根据 010 没判断出错位了。

所以要使 CRC 码有纠错能力，必须满足：2^k >= n + k + 1

• n + k 表示错误的状态的数量
• 1 表示的正确的状态

不过在实际的应用，CRC 码只用于检错，比如几千个bit+几个校验位

总结

1. 确定 CRC 码位数
2. 移位，低位补 0
3. 模2除求余数，余数是校验位
4. CRC码 = 信息位 + 校验位

如果要有纠错能力，需要满足：2^k >= n + k + 1