二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

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0. 前言

前文【二叉树的概念和原理】主要介绍了树的相关概念和原理,本文主要内容为二叉树的创建及遍历的代码实现,其中包括递归遍历和栈遍历。

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

1. 二叉树的实现思路

1.0. 顺序存储——数组实现

前面介绍了满二叉树和完全二叉树,我们对其进行了编号——从 0 到 n 的不中断顺序编号,而恰好,数组也有一个这样的编号 —— 数组下标,只要我们把二者联合起来,数组就能存储二叉树了。

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

那么非满、非完全二叉树怎么使用数组存储呢?

我们可以在二叉树中补上一些虚构的结点,构造出来一个满/完全二叉树来,存储到数组中时,虚构的结点对应的数组元素不存储数据(# 代表虚构的不存在)。如下图:

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

这样存储的缺点是,数组中可能会有大量空间未用到,造成浪费。

1.1. 链式存储——链表实现

我们画树的图时,采用的都是结点加箭头的方式,结点表示数据元素,箭头表示结点之间的关系,清晰明了。如果你对链表熟悉,那么肯定能觉察到这是典型的链式结构。链式结构完美解决了顺序结构中可能会浪费空间的缺点,而且也不会有数组空间限制。

下面来分析一下结点的结构。

树的结点包括一个数据元素和若干指向其子树分支。二叉树的结点相对简单,包括:

  • 数据元素
  • 左子树分支(结点的左孩子)
  • 右子树分支(结点的右孩子)

怎么来实现呢?单链表的结点是使用一个指向其后继结点的指针来表示其关系的。同样地,我们也可以使用指针来表示结点和其左孩子、右孩子的关系。

分析到这,二叉树的结点就清晰了:

  • 一个存储数据的变量——data
  • 一个指向其左孩子结点的指针——left_child
  • 一个指向其右孩子结点的指针——right_child

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

用 C 语言的结构体实现二叉树的结点(为了方便起见,我们的数据全为字符类型):

/*二叉树的结点的结构体*/
typedef struct Node {
    char data; //数据域
    struct Node *left_child; //左孩子指针
    struct Node *right_child; //右孩子指针
} TreeNode;

2. 二叉树的创造

二叉树的定义是递归的定义,所以如果你想要创造一个二叉树,也可以借助递归去创造。如何递归创造呢?在现实中,一棵树先长根、再长枝干、最后长叶子。我们用代码创造树时,也遵守这个原则,即先创造根结点,然后左子树,最后右子树。整个过程和先序遍历相似。

我以前写过的文章中有二叉树创建过程的动态图,这里不再赘述。

这里以创造下图中的树为例:

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

说明:当我们看到如左图的二叉树时,要立即能脑补出对应的右图。#结点是什么?

前面我们已经画出了类似的图,当时是 NULL 结点,它的作用是标识某个结点没有孩子,它是我们虚构出来的。在实际使用 C 语言创造二叉树时,需要使用 #或者什么其他的符号来代替 NULL.

上图的先序遍历顺序为:ABDEGCF,如果加上 # 结点,则为:ABD##EG###C#F##. 我们按照此顺序来创造二叉树。

代码如下:

/**
 * 创造一个二叉树
 * root: 指向根结点的指针的指针
 */
void create_binary_tree(TreeNode **root)
{
    char elem;
    scanf("%c", &elem);
    if (elem == '#') {
        *root = NULL;
    } else {
        *root = create_tree_node(elem); //创造一个二叉结点
        create_binary_tree(&((*root)->left_child));
        create_binary_tree(&((*root)->right_child));
    }
}

请注意,函数 create_binary_tree 接受的是一个指向根结点的指针的指针,至于为什么要使用指针的指针,理由在介绍单链表的初始化时已经解释了。

3. 二叉树的遍历

在文章【二叉树的概念和原理】中已经介绍了遍历的原理了,下面使用 C 语言实现它。

3.0. 遍历实质

二叉树的定义是递归的定义,即在二叉树的定义中又用到了二叉树的定义。所以无论是在创造二叉树,还是在遍历二叉树,我们要做的只有三件事:访问根结点、找左子树、找右子树。所谓先序、中序、后序遍历,无非是这三件事的顺序罢了。

3.1. 递归实现

我们如果使用递归代码,很容易就能实现遍历,而且代码非常简洁。

【先序遍历】

/**
 * 先序遍历
 * root: 指向根结点的指针
 */
void preorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉树为空,做空操作
        return;
    }
    printf("%c ", root->data); //访问根结点
    preorder_traversal(root->left_child); //递归遍历左子树
    preorder_traversal(root->right_child); //递归遍历右子树
}

【中序遍历】

/**
 * 中序遍历
 * root: 指向根结点的指针
 */
void inorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉树为空,做空操作
        return;
    }
    inorder_traversal(root->left_child); //递归遍历左子树
    printf("%c ", root->data); //访问根结点
    inorder_traversal(root->right_child); //递归遍历右子树
}

【后序遍历】

/**
 * 后序遍历
 * root: 指向根结点的指针
 */
void postorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉树为空,做空操作
        return;
    }
    postorder_traversal(root->left_child); //递归遍历左子树
    postorder_traversal(root->right_child); //递归遍历右子树
    printf("%c ", root->data); //访问根结点
}

事实上,大部分使用递归做的事,使用栈也可以做到。下面介绍遍历的栈实现。

3.2. 栈实现

我们利用了栈的后进先出的特性,

栈实现的代码较复杂,受篇幅限制,这里只介绍先序遍历和后序遍历,详细代码请移步至代码仓库查看。

【先序遍历】

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

我们的树的结点是要全部都入栈的(暂不管顺序如何),那么入栈的条件是什么?就是该结点可以被看作某棵树(子树)的根结点的时候。即,curr 指针指向的结点一定为某颗树(子树)的根结点。

【二叉树的概念和原理】中,我们已经看到了,遍历完某个子树时,一定要回到其双亲结点。这种回溯如何实现?可以利用栈的先进后出、后进先出的特点,这个特点能在栈中完美保存结点在树中父子关系,栈顶元素即为当前子树的双亲结点。

/**
 * 使用栈实现的先序遍历
 */
void preorder_traversal_by_stack(TreeNode *root)
{
    //创造并初始化栈
    Stack stack;
    init_stack(&stack);

    TreeNode *curr = root; //辅助指针curr

    while (curr != NULL || !stack_is_empty(&stack)) {
        while (curr != NULL) {
            printf("%c", curr->data); //打印根结点
            push(&stack, curr); //根结点入栈
            curr = curr->left_child; //进入左子树
        }
        if (!stack_is_empty(&stack)) {
            pop(&stack, &curr); //出栈,回到上一个根结点
            curr = curr->right_child; //进入右子树
        }
    }
}

【后序遍历】

后序遍历相较于前序和中序较为麻烦,不像前序和中序遍历那样。因为前序和种序的根结点在右子树之前,所以我们可以在出栈的时候同时进行打印根结点和进入右子树。

后序遍历的根结点在右子树之后,这就要求我们再遍历完左子树后,先返回到根结点,然后进入右子树,遍历完右子树之后,再回到根结点,才能打印它。

关键之处还在于左子树、右子树、根结点的顺序。

所以当 curr 指针遍历完左子树后,我们不能直接将根结点出栈,而是先从栈顶读取到根结点,然后 curr 指针返回到根结点,然后 curr 指针进入右子树进行遍历,当右子树遍历完成后,将根结点出栈,才能打印根结点。

这样一来,后序遍历就有两次回到根结点的动作,且这两次的后续动作不一样。第一次通过读取栈顶回到根结点,然后进入右子树;第二次通过出栈回到根结点,然后打印根结点。

这样看似解决了后序遍历的顺序问题,但其实又得到了一个新的问题,即,我们如何知道右子树被遍历完了?

我们有两次回到根结点的动作,对于写代码的人来说,我们知道两次回到根结点之后该干什么,知道右子树是否被遍历完了。但是对于 curr 指针来说,它不知道,两次回到根结点,它都不知道右子树是否被遍历完成了。

此时,对于curr 指针来说,就像有两条路摆在它面前让它选择其中一条,它难以抉择。如果当其中一条有过它的脚印,那么它就很容易选择那条没走过的路了。

二叉树创建后,如何使用递归和栈遍历二叉树?

所以我们现在还需要一个“脚印”指针——prevprev指针用来记录 curr访问过的结点。

curr 指针第二次回到根结点的时候,一看,哦!我的脚印留在那呢!(prev 指针指在右子树那里)curr 指针就直接放心打印根结点了。

/**
 * 使用栈实现的后序遍历
 */
void postorder_traversal_by_stack(TreeNode *root)
{
    Stack stack;
    init_stack(&stack);

    TreeNode *curr = root; //辅助指针curr,记录当前访问结点
    TreeNode *prev = NULL; //脚印指针prev,记录上一个访问过的结点

    while (curr != NULL || !stack_is_empty(&stack)) {
        if (curr != NULL) {
            push(&stack, curr); //根结点入栈
            curr = curr->left_child; //进入左子树
        } else {
            get_top(&stack, &curr); //读栈顶元素,不是出栈
            //右子树不为空,且右子树没被遍历
            if (curr->right_child != NULL && curr->right_child != prev) { 
                curr = curr->right_child; //进入右子树
                push(&stack, curr); //根结点入栈
                curr = curr->left_child; //进入左子树
            } else { //右子树已被遍历或者右子树为空,可以打印根结点了
                pop(&stack, &curr); //根结点出栈
                printf("%c", curr->data); //打印根结点
                prev = curr; //记录
                curr = NULL; //置空,进入下一轮循环
            }
        }
    }
}

以上代码中的栈的相关函数这里不再给出,详细代码请移步至代码仓库(文末获取)。

4. 总结

递归的代码虽然简洁,但是对新手来说却有点难以理解,这是因为接触的太少。栈的代码相对来说容易理解一些,但代码比较复杂,特别是后序遍历的代码。

不过当你真正理解了二叉树的定义、概念、原理之后,代码相关的问题就不再是问题了,最终只落在六个字上——无他,惟手熟尔。

以上就是二叉树的创建和遍历的实现。

完整代码请移步至 GitHub | Gitee 获取。

如有错误,还请指正。

如果觉得写的不错,可以点个赞和关注。后续会有更多数据结构和算法相关文章。

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