神经网络在机器学习中有很大的应用，甚至涉及到方方面面。本文主要是简单介绍一下神经网络的基本理论概念和推算。同时也会介绍一下神经网络在数据分类方面的应用。

首先，当我们建立一个回归和分类模型的时候，无论是用最小二乘法（OLS）还是最大似然值（MLE）都用来使得残差达到最小。因此我们在建立模型的时候，都会有一个loss function。

而在神经网络里也不例外，也有个类似的loss function。

对回归而言：

对分类而言：

然后同样方法，对于W开始求导，求导为零就可以求出极值来。

关于式子中的W。我们在这里以三层的神经网络为例。先介绍一下神经网络的相关参数。

第一层是输入层，第二层是隐藏层，第三层是输出层。

在X1，X2经过W1的加权后，达到隐藏层，然后经过W2的加权，到达输出层

其中，

我们有：

至此，我们建立了一个初级的三层神经网络。

当我们要求其的loss function最小时，我们需要逆向来求，也就是所谓的backpropagation。

我们要分别对W1和W2进行求导，然后求出其极值。

从右手边开始逆推，首先对W2进行求导。

代入损失函数公式：

然后，我们进行化简：

化简到这里，我们同理再对W1进行求导。

我们可以发现当我们在做bp网络时候，有一个逆推回去的误差项，其决定了loss function 的最终大小。

在实际的运算当中，我们会用到梯度求解，来求出极值点。

总结一下来说，我们使用向前推进来理顺神经网络做到回归分类等模型。而向后推进来计算他的损失函数，使得参数W有一个最优解。

当然，和线性回归等模型相类似的是，我们也可以加上正则化的项来对W参数进行约束，以免使得模型的偏差太小，而导致在测试集的表现不佳。

Python 的实现：

使用了KERAS的库

解决线性回归：

model.add(Dense(1, input_dim=n_features, activation='linear', use_bias=True))

# Use mean squared error for the loss metric and use the ADAM backprop algorithm
model.compile(loss='mean_squared_error', optimizer='adam')

# Train the network (learn the weights)
# We need to convert from DataFrame to NumpyArray
history = model.fit(X_train.values, y_train.values,  epochs=100, 
                    batch_size=1, verbose=2, validation_split=0)

解决多重分类问题：

# create model
model = Sequential()
model.add(Dense(64, activation='relu', input_dim=n_features))
model.add(Dropout(0.5))
model.add(Dense(64, activation='relu'))
model.add(Dropout(0.5))
# Softmax output layer
model.add(Dense(7, activation='softmax'))

model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])

model.fit(X_train.values, y_train.values, epochs=20, batch_size=16)

y_pred = model.predict(X_test.values)

y_te = np.argmax(y_test.values, axis = 1)
y_pr = np.argmax(y_pred, axis = 1)

print(np.unique(y_pr))

print(classification_report(y_te, y_pr))

print(confusion_matrix(y_te, y_pr))

当我们选取最优参数时候，有很多种解决的途径。这里就介绍一种是gridsearchcv的方法，这是一种暴力检索的方法，遍历所有的设定参数来求得最优参数。

from sklearn.model_selection import GridSearchCV

def create_model(optimizer='rmsprop'):
    model = Sequential()
    model.add(Dense(64, activation='relu', input_dim=n_features))
    model.add(Dropout(0.5))
    model.add(Dense(64, activation='relu'))
    model.add(Dropout(0.5))
    model.add(Dense(7, activation='softmax'))
    model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer=optimizer, metrics=['accuracy'])
    
    return model

model = KerasClassifier(build_fn=create_model, verbose=0)

optimizers = ['rmsprop']
epochs = [5, 10, 15]
batches = [128]


param_grid = dict(optimizer=optimizers, epochs=epochs, batch_size=batches, verbose=['2'])
grid = GridSearchCV(estimator=model, param_grid=param_grid)

grid.fit(X_train.values, y_train.values)