第一章 随机事件与概率

1.1 随机事件及其运算

一 随机事件的几个相关概念

1 随机现象：在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象。如：抛一枚硬币与掷一颗骰子。

随机现象的特点：

• 结果不止一个，只有一个结果的现象称为确定性现象。如：每天早上太阳从东方升起；
• 出现哪一个结果，预先不知道。

例1 随机现象的例子：

1. 抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2. 掷一颗骰子，出现的点数；
3. 一天内进入某超市的顾客数；
4. 某种型号电视机的寿命；
5. 测量某物理量（长度，直径等）的误差。

2 随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。注意，也有很多随机现象是不能重复的。如：某些经济现象。

3 样本空间：随机现象的一切可能基本结果（样本点）组成的集合称为样本空间。

例2 以下是例1的样本空间：

1. 抛一枚硬币的样本空间为： $\Omega_1=\{\omega_1,\omega_2\}$ ，其中$\omega_1$表示正面朝上，$\omega_2$表示反面朝上；
2. 掷一颗骰子的样本空间为： $\Omega_2=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_6\}$，其中$\omega_i$表示出现$i$的点数，也可以记为： $\Omega_2=\{1,2,\cdots,6\}$；
3. 一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：$\Omega_3=\{0,1,2,\cdots,500,\cdots\}$；
4. 电视机寿命的样本空间为：$\Omega_4=\{t,t \geq 0\}$；
5. 测量误差的样本空间为：$\Omega_5=\{x,- \infty \leq x \leq +\infty\}$。

注意：

1. 样本空间中的元素可以是数，也可以不是数，如$\Omega_1$；
2. 样本空间至少有两个样本点，仅含有两个样本点的样本空间是最简单的样本空间，如$\Omega_1$；
3. 从样本空间含有样本点的个数来区分，样本空间可分为有限和无限样本空间两类。如$\Omega_1$和$\Omega_2$为有限样本空间，而$\Omega_3$，$\Omega_4$和$\Omega_5$为无限样本空间。其中$\Omega_3$中样本点的个数为可列个，而$\Omega_4$和$\Omega_5$中的元素为不可列无限个。我们称样本点的个数为有限个或可列个的样本空间为离散样本空间，而将样本点的个数为不可列无限个的样本空间为连续样本空间。

4 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。常用大写字母$A,B,C,\cdots$表示。如在掷一颗骰子中，$A=$“出现奇数”是一个事件，即$A=\{1,3,5\}$。

注意：

• 任一事件$A$是相应样本空间的一个子集。概率论中常用一个长方形表示样本空间$\Omega$，用其中一个圆或其他几何图形表示事件$A$。见图1.1，这类图形称为维恩（Venn）图；
  

图1.1 事件$A$的维恩图

• 当子集$A$中某个样本点出现了，就说事件$A$发生了，或者说事件$A$发生当且仅当$A$中某个样本点出现了；
• 事件可以用集合表示，也可以用明白无误的语言描述；
• 由样本空间$\Omega$中的单个元素组成的子集称为基本事件，而样本空间$\Omega$的最大子集（即$\Omega$本身）称为必然事件。样本空间$\Omega$的最小子集（即空集$\emptyset$）称为不可能事件。

例3 掷一颗骰子的样本空间为：$\Omega=\{1,2,\cdots,6\}$：

• 事件$A$ = “出现1点”，它由$\Omega$的三个样本点“1”组成；
• 事件$B$ = “出现偶数”，它由$\Omega$的单个样本点“2,4,6”组成；
• 事件$C$ = “出现的点数小于7”，它由$\Omega$的全部样本点“1,2,3,4,5,6”组成；
• 事件$D$ = “出现的点数大于6”，$\Omega$中任一样本点都不在$D$中，所以$D$是空集，即不可能事件$\emptyset$。

5 随机变量：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母$X,Y,Z$表示，很多事件都可用随机变量表示，表示时应写明随机变量的含义。

例4 掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量，记为$X$，则事件“出现3点”可用“$X$=3”表示，事件“出现的点数不小于3”可用“$X\ge3$”表示，又如“$X\lt3$”表示事件“出现点数小于3”。

6 事件间的关系

• 包含关系：如果属于$A$的样本点必属于$B$，则称$A$被包含在$B$中，或称$B$包含$A$，记为$A\subset B$，或$B\supset A$；
• 相等关系：如果事件$A$与$B$满足：属于$A$的样本点必属于$B$，而且属于$B$的样本点必属于$A$，即$A\subset B$且$B\supset A$，则称事件$A$与$B$相等，记为$A=B$；
• 互不相容：如果$A$与$B$没有相同的样本点，则称$A$与$B$互不相容，即$A$与$B$互不相容意味着事件$A$与$B$不可能同时发生。

二 事件运算

• 并：“事件$A$与$B$至少有一个发生”称为事件$A$与$B$的并；
• 交：“事件$A$与$B$同时发生”称为事件$A$与$B$的交。若事件$A$与$B$为互不相容，则其交必不可能事件，即$AB=\emptyset$，反之亦然，即$AB=\emptyset$意味着$A$与$B$是互不相容事件；
• 差：“由事件$A$中而不在事件$B$中的样本点组成的新事件”记为“$A-B$”，即“事件$A$发生而事件$B$不发生”；
• 对立事件：“由在$\Omega$中而不在$A$中的样本点组成的新事件”称为对立事件，记为$\overline A$。$A$与$B$互为对立事件的充要条件是：$A\cap B=\emptyset$且$A\cup B=\Omega$；
• 事件的运算性质：

1. 交换律：$A\cup B = B\cup A$，$A\cap B = B\cap A$ 即$AB=BA$；
2. 结合律：$(A\cup B) \cup C= A\cup (B \cup C)$ 及 $(AB)C=A(BC)$
3. 分配律：$(A\cup B) \cap C= AC\cup BC$ 及 $(A\cap B) \cup C= (A\cup C)\cap(B\cup C) $
4. 对偶律（德摩根公式）：$\overline {A\cup B}=\overline A\cap \overline B$及$\overline {A\cap B}=\overline A\cup \overline B$

该公式可推广到多个事件及可列个事件场合：
$$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n \overline A_i \quad 及\quad \overline{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i $$
$$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n \overline A_i \quad 及\quad \overline{\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i $$
其中$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n \overline A_i$和$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n \overline A_i$可用数学归纳法证明。