概念
直线拟合
霍夫直线检测是检测图像中是否存在直线，直线拟合则是假定我们已经知道点数据是在一条直线上，需要利用这些数据拟合出一条直线，但是由于噪声的存在，这条直线可能并不会通过大多数的数据点，此时，我们无法使用直线检测方式来寻找直线，而只能通过直线拟合的方式来求出这条直线。那么如何拟合直线呢？一般我们采用
最小二乘法来保证所有数据点距离直线的距离最小，从而得出这条拟合出来的直线。
最小二乘法
最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：
$$
标函数=\sum（观测值-理论值）^2
$$
最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合
其他一些优化问题也可通过 最小化能量或 最大化熵用最小二乘法来表达。
假设现在有点
$$
(x_1,y_1),(x_2,y_2)……(x_n,y_n)
$$
设拟合多项式为：
$$
y=ax+b
$$
平方偏差为：
$$
e^2=\sum^n_{i=1}(y_i-y)^2\
e^2=\sum^n_{i=1}(y_i-(ax_i+b))^2\
$$
我们要找到一组最好的a和b 能使得所有的误差达到最小化。上面公式分别对a和b求偏导：
$$
\frac{\partial e}{\partial a} = \sum^n_{i=1}2(y_i-(ax_i+b)(-x_i))=0\
= \sum^n_{i=1}(ax_i^2+bx_i-y_ix_i)=0\
$$
$$ 得到等式\（\sum^n_{i=1}x^2_i）a+(\sum^n_{i=1})b=\sum^n_{i=1}y_ix_i\ \frac{\partial e}{\partial b} = \sum^n_{i=1}2(y_i-(ax_i+b)(-1))=0\ =\sum^n_{i=1}(ax_i+b-y_i)=0\ $$
$$ 得到等式\（\sum^n_{i=1}x_i）a+nb=\sum^n_{i=1}y_i\ \left{ \begin{aligned} a\sum^n_{i=1}x_i&=\sum^n_{i=1}y_i-bn &(1)\ a\sum^n_{i=1}x_i^2&=\sum^n_{i=1}x_iy_i-b\sum^n_{i=1}x &(2)\ \end{aligned} \right.\ $$
$$ (1)/(2)得到\ \frac{\sum^n_{i=1}x_i}{\sum^n_{i=1}x_i^2}=\frac{\sum^n_{i=1}y_i-bn}{\sum^n_{i=1}x_iy_i-b\sum^n_{i=1}x} (3)\ $$
$$ (3)交叉相乘后化简\ \sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}x_iy_i-b(\sum^n_{i=1}x_i)^2=\sum^n_{i=1}x_i^2\sum^n_{i=1}y_i-bn\sum^n_{i=1}x_i^2(4)\ $$
$$ 通过(4)求得\ \left{ \begin{aligned} a&=\frac{\sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}y_i-n\sum^n_{i=1}x_iy_i}{(\sum^n_{i=1}x_i)^2-n\sum^n_{i=1}x_i^2}\ b&=\frac{\sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}x_iy_i-\sum^n_{i=1}x_i^2\sum^n_{i=1}y_i}{(\sum^n_{i=1}x_i)^2-n\sum^n_{i=1}x_i^2}\ \end{aligned} \right.\ $$
Excel直线拟合
给定一组数据，然后用散点图的方式展示后选择线性趋势线，完成直线拟合。
GeoGebra 直线拟合
API
public static void fitLine(Mat points, Mat line, int distType, double param, double reps, double aeps)参数一：points，待拟合直线的点集。2D或3D点的输入向量，存储在std :: vector <>或Mat中
参数二：line，输出线路参数。如果是2D拟合，则它应该是4个元素的向量（例如Vec4f）-（vx，vy，x0，y0），其中（vx，vy）是与线共线的归一化向量，而（x0，y0 ）是直线上的一点。如果是3D拟合，则它应该是6个元素的向量（例如Vec6f）-（vx，vy，vz，x0，y0，z0），其中（vx，vy，vz）是与线共线的归一化向量和（x0，y0，z0）是直线上的一点
参数三：distType，最小二乘法使用的距离类型标志。
enum DistanceTypes { DIST_USER = -1, //!< User defined distance DIST_L1 = 1, //!< distance = |x1-x2| + |y1-y2| DIST_L2 = 2, //!< the simple euclidean distance DIST_C = 3, //!< distance = max(|x1-x2|,|y1-y2|) DIST_L12 = 4, //!< L1-L2 metric: distance = 2(sqrt(1+x*x/2) - 1)) DIST_FAIR = 5, //!< distance = c^2(|x|/c-log(1+|x|/c)), c = 1.3998 DIST_WELSCH = 6, //!< distance = c^2/2(1-exp(-(x/c)^2)), c = 2.9846 DIST_HUBER = 7 //!< distance = |x|<c ? x^2/2 : c(|x|-c/2), c=1.345 };参数四：param，某些距离类型的数值参数（C）。如果为0，则会自动选择一个最佳值
参数五：reps，坐标原点与拟合直线之间的距离精度，数值为0表示选择自适应参数，一般选择0.01
参数六：aeps，拟合直线的角度精度，数值0表示选择自适应参数，一般选择0.01
标志位计算公式
DIST_L1 $$ \rho (r) = r $$
DIST_L2 $$ \rho (r) = r^2/2 \quad \text{(the simplest and the fastest least-squares method)} $$
DIST_L12 $$ \rho (r) = 2 \cdot ( \sqrt{1 + \frac{r^2}{2}} - 1) $$
DIST_FAIR $$ \rho \left (r \right ) = C^2 \cdot \left ( \frac{r}{C} - \log{\left(1 + \frac{r}{C}\right)} \right ) \quad \text{where} \quad C=1.3998 $$
DIST_WELSCH $$ \rho \left (r \right ) = \frac{C^2}{2} \cdot \left ( 1 - \exp{\left(-\left(\frac{r}{C}\right)^2\right)} \right ) \quad \text{where} \quad C=2.9846 $$
DIST_HUBER $$ \rho \left (r \right )= \left{ \begin{aligned} &\frac{r^2}{2},&当r<C时\ &C(r-\frac{C}{2}),&其他 \ \end{aligned} \right.\ 其中C=1.345 $$
操作
/**
* 直线拟合
* author: yidong
* 2020/9/8
*/
class FitLineActivity : AppCompatActivity() {
private lateinit var mBinding: ActivityFitLineBinding
private val mPoints = MatOfPoint(
Point(1.0, 21.0),
Point(2.0, 34.0),
Point(3.0, 43.0),
Point(4.0, 67.0),
Point(5.0, 79.0),
Point(6.0, 66.0),
Point(7.0, 67.0),
Point(8.0, 88.0),
Point(9.0, 90.0),
Point(10.0, 100.0)
)
override fun onCreate(savedInstanceState: Bundle?) {
super.onCreate(savedInstanceState)
mBinding = DataBindingUtil.setContentView(this, R.layout.activity_fit_line)
mBinding.presenter = this
val points = StringBuilder()
for (point in mPoints.toList()) {
points.append(point.toString() + "\n")
}
mBinding.tvPoints.text = points
}
fun doFitLine() {
val result = Mat()
Imgproc.fitLine(mPoints, result, Imgproc.DIST_L1, 0.0, 0.00, 0.00)
val lines = FloatArray(4)
val tmp = FloatArray(1)
for (i in 0 until result.rows()) {
result.get(i, 0, tmp)
lines[i] = tmp[0]
}
val k = lines[1] / lines[0]
mBinding.tvResult.text = "y=$k(x-${lines[2]})+${lines[3]}"
result.release()
}
}效果
疑问：OpenCV拟合结果和Excel略有差异，用GeoGebra拟合的直线和Excel相同。有知道的朋友欢迎不吝赐教。