直线拟合
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概念

直线拟合

霍夫直线检测是检测图像中是否存在直线,直线拟合则是假定我们已经知道点数据是在一条直线上,需要利用这些数据拟合出一条直线,但是由于噪声的存在,这条直线可能并不会通过大多数的数据点,此时,我们无法使用直线检测方式来寻找直线,而只能通过直线拟合的方式来求出这条直线。那么如何拟合直线呢?一般我们采用最小二乘法来保证所有数据点距离直线的距离最小,从而得出这条拟合出来的直线。

最小二乘法

最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的,形式如下式:

$$ 标函数=\sum(观测值-理论值)^2 $$ 最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合 其他一些优化问题也可通过 最小化能量最大化熵用最小二乘法来表达。

假设现在有点 $$ (x_1,y_1),(x_2,y_2)……(x_n,y_n) $$ 设拟合多项式为: $$ y=ax+b $$ 平方偏差为: $$ e^2=\sum^n_{i=1}(y_i-y)^2\ e^2=\sum^n_{i=1}(y_i-(ax_i+b))^2\ $$ 我们要找到一组最好的a和b 能使得所有的误差达到最小化。上面公式分别对a和b求偏导: $$ \frac{\partial e}{\partial a} = \sum^n_{i=1}2(y_i-(ax_i+b)(-x_i))=0\ = \sum^n_{i=1}(ax_i^2+bx_i-y_ix_i)=0\ $$

$$ 得到等式\(\sum^n_{i=1}x^2_i)a+(\sum^n_{i=1})b=\sum^n_{i=1}y_ix_i\ \frac{\partial e}{\partial b} = \sum^n_{i=1}2(y_i-(ax_i+b)(-1))=0\ =\sum^n_{i=1}(ax_i+b-y_i)=0\ $$

$$ 得到等式\(\sum^n_{i=1}x_i)a+nb=\sum^n_{i=1}y_i\ \left{ \begin{aligned} a\sum^n_{i=1}x_i&=\sum^n_{i=1}y_i-bn &(1)\ a\sum^n_{i=1}x_i^2&=\sum^n_{i=1}x_iy_i-b\sum^n_{i=1}x &(2)\ \end{aligned} \right.\ $$

$$ (1)/(2)得到\ \frac{\sum^n_{i=1}x_i}{\sum^n_{i=1}x_i^2}=\frac{\sum^n_{i=1}y_i-bn}{\sum^n_{i=1}x_iy_i-b\sum^n_{i=1}x} (3)\ $$

$$ (3)交叉相乘后化简\ \sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}x_iy_i-b(\sum^n_{i=1}x_i)^2=\sum^n_{i=1}x_i^2\sum^n_{i=1}y_i-bn\sum^n_{i=1}x_i^2(4)\ $$

$$ 通过(4)求得\ \left{ \begin{aligned} a&=\frac{\sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}y_i-n\sum^n_{i=1}x_iy_i}{(\sum^n_{i=1}x_i)^2-n\sum^n_{i=1}x_i^2}\ b&=\frac{\sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}x_iy_i-\sum^n_{i=1}x_i^2\sum^n_{i=1}y_i}{(\sum^n_{i=1}x_i)^2-n\sum^n_{i=1}x_i^2}\ \end{aligned} \right.\ $$

Excel直线拟合

给定一组数据,然后用散点图的方式展示后选择线性趋势线,完成直线拟合。

直线拟合

GeoGebra 直线拟合

直线拟合

API

public static void fitLine(Mat points, Mat line, int distType, double param, double reps, double aeps)
  • 参数一:points,待拟合直线的点集。2D或3D点的输入向量,存储在std :: vector <>或Mat中

  • 参数二:line,输出线路参数。如果是2D拟合,则它应该是4个元素的向量(例如Vec4f)-(vx,vy,x0,y0),其中(vx,vy)是与线共线的归一化向量,而(x0,y0 )是直线上的一点。如果是3D拟合,则它应该是6个元素的向量(例如Vec6f)-(vx,vy,vz,x0,y0,z0),其中(vx,vy,vz)是与线共线的归一化向量和(x0,y0,z0)是直线上的一点

  • 参数三:distType,最小二乘法使用的距离类型标志。

    enum DistanceTypes {
        DIST_USER    = -1,  //!< User defined distance
        DIST_L1      = 1,   //!< distance = |x1-x2| + |y1-y2|
        DIST_L2      = 2,   //!< the simple euclidean distance
        DIST_C       = 3,   //!< distance = max(|x1-x2|,|y1-y2|)
        DIST_L12     = 4,   //!< L1-L2 metric: distance = 2(sqrt(1+x*x/2) - 1))
        DIST_FAIR    = 5,   //!< distance = c^2(|x|/c-log(1+|x|/c)), c = 1.3998
        DIST_WELSCH  = 6,   //!< distance = c^2/2(1-exp(-(x/c)^2)), c = 2.9846
        DIST_HUBER   = 7    //!< distance = |x|<c ? x^2/2 : c(|x|-c/2), c=1.345
    };
  • 参数四:param,某些距离类型的数值参数(C)。如果为0,则会自动选择一个最佳值

  • 参数五:reps,坐标原点与拟合直线之间的距离精度,数值为0表示选择自适应参数,一般选择0.01

  • 参数六:aeps,拟合直线的角度精度,数值0表示选择自适应参数,一般选择0.01

标志位计算公式

  • DIST_L1 $$ \rho (r) = r $$

  • DIST_L2 $$ \rho (r) = r^2/2 \quad \text{(the simplest and the fastest least-squares method)} $$

  • DIST_L12 $$ \rho (r) = 2 \cdot ( \sqrt{1 + \frac{r^2}{2}} - 1) $$

  • DIST_FAIR $$ \rho \left (r \right ) = C^2 \cdot \left ( \frac{r}{C} - \log{\left(1 + \frac{r}{C}\right)} \right ) \quad \text{where} \quad C=1.3998 $$

  • DIST_WELSCH $$ \rho \left (r \right ) = \frac{C^2}{2} \cdot \left ( 1 - \exp{\left(-\left(\frac{r}{C}\right)^2\right)} \right ) \quad \text{where} \quad C=2.9846 $$

  • DIST_HUBER $$ \rho \left (r \right )= \left{ \begin{aligned} &\frac{r^2}{2},&当r<C时\ &C(r-\frac{C}{2}),&其他 \ \end{aligned} \right.\ 其中C=1.345 $$

操作

/**
 * 直线拟合
 * author: yidong
 * 2020/9/8
 */
class FitLineActivity : AppCompatActivity() {

    private lateinit var mBinding: ActivityFitLineBinding
    private val mPoints = MatOfPoint(
        Point(1.0, 21.0),
        Point(2.0, 34.0),
        Point(3.0, 43.0),
        Point(4.0, 67.0),
        Point(5.0, 79.0),
        Point(6.0, 66.0),
        Point(7.0, 67.0),
        Point(8.0, 88.0),
        Point(9.0, 90.0),
        Point(10.0, 100.0)
    )

    override fun onCreate(savedInstanceState: Bundle?) {
        super.onCreate(savedInstanceState)
        mBinding = DataBindingUtil.setContentView(this, R.layout.activity_fit_line)
        mBinding.presenter = this

        val points = StringBuilder()
        for (point in mPoints.toList()) {
            points.append(point.toString() + "\n")
        }
        mBinding.tvPoints.text = points
    }


    fun doFitLine() {
        val result = Mat()
        Imgproc.fitLine(mPoints, result, Imgproc.DIST_L1, 0.0, 0.00, 0.00)
        val lines = FloatArray(4)
        val tmp = FloatArray(1)
        for (i in 0 until result.rows()) {
            result.get(i, 0, tmp)
            lines[i] = tmp[0]
        }
        val k = lines[1] / lines[0]
        mBinding.tvResult.text = "y=$k(x-${lines[2]})+${lines[3]}"
        result.release()
    }
}

效果

直线拟合

疑问:OpenCV拟合结果和Excel略有差异,用GeoGebra拟合的直线和Excel相同。有知道的朋友欢迎不吝赐教。

源码

https://github.com/onlyloveyd/LearningAndroidOpenCV

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