886. 可能的二分法 : 判定二分图模板题

题目描述

这是 LeetCode 上的 886. 可能的二分法 ，难度为中等。

Tag : 「二分图」、「染色法」、「并查集」、「DFS」

给定一组 n 人（编号为 1, 2, ..., n），我们想把每个人分进任意大小的两组。每个人都可能不喜欢其他人，那么他们不应该属于同一组。

给定整数 n 和数组 dislikes ，其中 $dislikes[i] = [a_i, b_i]$ ，表示不允许将编号为 $a_i$ 和 $b_i$ 的人归入同一组。当可以用这种方法将所有人分进两组时，返回 true；否则返回 false。

示例 1：

输入：n = 4, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,4]]

输出：true

解释：group1 [1,4], group2 [2,3]

示例 2：

输入：n = 3, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,3]]

输出：false

示例 3：

输入：n = 5, dislikes = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[1,5]]

输出：false

提示：

$1 <= n <= 2000$
$0 <= dislikes.length <= 10^4$
$dislikes[i].length = 2$
$1 <= dislikes[i][j] <= n$
$a_i < b_i$
dislikes 中每一组都不同

染色法

无论是从题目描述和对点边的描述，这都是一道「染色法判定二分图」的模板题。

为了方便，我们令 dislikes 为 ds，将其长度记为 $m$。

题目要求我们将 $n$ 个点划分到两个集合中，同时我们将每个 $ds[i]$ 看做无向边的话，可知集合内部无边，即所有的边必然横跨两个集合之间。

使用 $ds[i]$ 进行建图，并将两个将要划分出的两个集合分别记为 A 和 B，我们可以采用「染色」的方式，尝试将所有点进行划分。

构建一个与点数相等的数组 color，我们人为规定划分到集合 A 的点满足 $color[i] = 1$，划分到集合 B 的点满足 $color[i] = 2$，起始有 $color[i] = 0$，代表该点尚未被划分。

随后我们可以实现 DFS 函数为 boolean dfs(int u, int cur) 含义为尝试将点 u 上 cur 色。根据定义可知，我们除了需要 color[u] = cur 以外，还需要遍历点 u 的所有出边（处理其邻点，将其划分到另一集合上），若在处理过程中发生冲突，则返回 false，若能顺利染色则返回 true。

由于我们固定了颜色编号为 1 和 2，因此 cur 的对立色可统一为 3 - cur。

最终，我们根据能否给所有点染色成功来决定答案。

Java 代码：

class Solution {
    int N = 2010, M = 2 * 10010;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], color = new int[N];
    int idx;
    void add(int a, int b) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx++;
    }
    boolean dfs(int u, int cur) {
        color[u] = cur;
        for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (color[j] == cur) return false;
            if (color[j] == 0 && !dfs(j, 3 - cur)) return false;
        }
        return true;
    }
    public boolean possibleBipartition(int n, int[][] ds) {
        Arrays.fill(he, -1);
        for (int[] info : ds) {
            int a = info[0], b = info[1];
            add(a, b); add(b, a);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (color[i] != 0) continue;
            if (!dfs(i, 1)) return false;
        }
        return true;
    }
}

TypeScript 代码：

const N = 2010, M = 2 * 10010
const he = new Array<number>(N), e = new Array<number>(M).fill(0), ne = new Array<number>(M).fill(0), color = new Array<number>(N)
let idx = 0
function add(a: number, b: number): void {
    e[idx] = b
    ne[idx] = he[a]
    he[a] = idx++
}
function dfs(u: number, cur: number): boolean {
    color[u] = cur
    for (let i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        const j = e[i];
        if (color[j] == cur) return false
        if (color[j] == 0 && !dfs(j, 3 - cur)) return false
    }
    return true
}
function possibleBipartition(n: number, ds: number[][]): boolean {
    he.fill(-1)
    idx = 0
    for (const info of ds) {
        const a = info[0], b = info[1]
        add(a, b); add(b, a)
    }
    color.fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        if (color[i] != 0) continue
        if (!dfs(i, 1)) return false
    }
    return true
}

Python 代码：

class Solution:
    def possibleBipartition(self, n: int, ds: List[List[int]]) -> bool:
        N, M = 2010, 20010
        he, e, ne, color = [-1] * N, [0] * M, [0] * M, [0] * N
        idx = 0
        def add(a, b):
            nonlocal idx
            e[idx], ne[idx], he[a] = b, he[a], idx
            idx += 1
        def dfs(u, cur):
            color[u] = cur
            i = he[u]
            while i != -1:
                j = e[i]
                if color[j] == cur:
                    return False
                if color[j] == 0 and not dfs(j, 3 - cur):
                    return False
                i = ne[i]
            return True
        for info in ds:
            a, b = info[0], info[1]
            add(a, b)
            add(b, a)
        for i in range(1, n + 1):
            if color[i] != 0:
                continue
            if not dfs(i, 1):
                return False
        return True

时间复杂度：$O(n + m)$
空间复杂度：$O(n + m)$

反向点 + 并查集

我们知道对于 $ds[i] = (a, b)$ 而言，点 a 和点 b 必然位于不同的集合中，同时由于只有两个候选集合，因此这样的关系具有推断性：即对于 $(a, b)$ 和 $(b, c)$ 可知 a 和 c 位于同一集合。

因此，我们可以对于每个点 x 而言，建议一个反向点 x + n：若点 x 位于集合 A 则其反向点 x + n 位于集合 B，反之同理。

基于此，我们可以使用「并查集」维护所有点的连通性：边维护变检查每个 $ds[i]$ 的联通关系，若 $ds[i] = (a, b)$ 联通，必然是其反向点联通所导致，必然是此前的其他 $ds[j]$ 导致的关系冲突，必然不能顺利划分成两个集合，返回 false，否则返回 true。

Java 代码：

class Solution {
    int[] p = new int[4010];
    int find(int x) {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }
    void union(int a, int b) {
        p[find(a)] = p[find(b)];
    }
    boolean query(int a, int b) {
        return find(a) == find(b);
    }
    public boolean possibleBipartition(int n, int[][] ds) {
        for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) p[i] = i;
        for (int[] info : ds) {
            int a = info[0], b = info[1];
            if (query(a, b)) return false;
            union(a, b + n); union(b, a + n);
        }
        return true;
    }
}

TypeScript 代码：

const p = new Array<number>(4010).fill(0)
function find(x: number): number {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
    return p[x]
}
function union(a: number, b: number): void {
    p[find(a)] = p[find(b)]
}
function query(a: number, b: number): boolean {
    return find(a) == find(b)
}
function possibleBipartition(n: number, ds: number[][]): boolean {
    for (let i = 1; i <= 2 * n; i++) p[i] = i
    for (const info of ds) {
        const a = info[0], b = info[1]
        if (query(a, b)) return false
        union(a, b + n); union(b, a + n)
    }
    return true
}

Python 代码：

class Solution:
    def possibleBipartition(self, n: int, ds: List[List[int]]) -> bool:
        p = [i for i in range(0, 2 * n + 10)]
        def find(x):
            if p[x] != x:
                p[x] = find(p[x])
            return p[x]
        def union(a, b):
            p[find(a)] = p[find(b)]
        def query(a, b):
            return find(a) == find(b)
        for info in ds:
            a, b = info[0], info[1]
            if query(a, b):
                return False
            else:
                union(a, b + n)
                union(b, a + n)
        return True