R语言使用Metropolis-Hastings采样算法自适应贝叶斯估计与可视化|附代码数据

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原文出处：拓端数据部落公众号

最近我们被客户要求撰写关于Metropolis-Hastings采样的研究报告，包括一些图形和统计输出。

如果您可以写出模型的似然函数，则 Metropolis-Hastings算法可以负责其余部分（即MCMC ）。我写了r代码来简化对任意模型的后验分布的估计。具体如下：

1）定义模型（即概率先验）。在此示例中，让我们构建一个简单的线性回归模型（对数）。



a<-pars[1]      #截距

b<-pars[2]      #斜率

sd_e<-pars[3]   #残差

if(sd_e<=0){return(NaN)}



log_likelihood<-sum( dnorm(data[,2],pred,sd_e, log=TRUE) )

先验：


epsilon<-pars[3]    #残差



prior_a<-dnorm(a,0,100,log=TRUE)     ##所有的非信息性先验

prior_b<-dnorm(b,0,100,log=TRUE)     ## 参数.

prior_epsilon<-dgamma(epsilon,1,1/100,log=TRUE)

现在让我们模拟一些数据以进行运行测试：

x<-runif(30,5,15)

y<-x+rnorm(30,0,5) ##斜率=1, 截距=0, epsilon=5

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2）Metro Hastings 完成所有工作。

MH(li_func=li_reg,pars=c(0,1,1),

3）您可以使用plotMH（）查看所有模型参数的后验

plot(mcmc)

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绘制所有参数之间的相关性。

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4）输出后验置信区间。

BCI

#              0.025    0.975

# a       -5.3345970 6.841016

# b        0.4216079 1.690075

# epsilon  3.8863393 6.660037

接下来，我想提供一种直观的方法来可视化此算法运行的情况。

主要思想是从分布中抽取样本。积分很重要，贝叶斯定理本身：

P（θ| D）= P（D |θ）P（θ）/ P（D）

其中P（D）是观察数据的无条件概率。由于这不依赖于推断的模型（θ）参数，因此P（D）是归一化常数。

因此，我们有一个非归一化的概率密度函数，我们希望通过随机抽样来估计。对于复杂的模型而言，随机抽样本身的过程通常很困难，因此，我们使用马尔可夫链来探索分布。我们需要一个链，如果运行时间足够长，它将作为目标分布的随机样本整体。我们构建的马尔可夫链的这种特性称为 遍历性。Metropolis-Hastings算法是构建这种链的一种方法。

步骤：

在参数空间k_X中选择一些起点
选择一个候选点k_Y〜N（k_X，σ）。这通常称为提议分布。
移至候选点的概率为：min（π（k_Y）/π（K_X），1）
重复。

以下代码通过简单的正态目标分布演示了此过程。


###     Metropolis-Hastings 可视化                #######



k_X = seed; ##将k_X设置为种子位置




for(i in 1:iter)

{

track<-c(track,k_X)    ## 链

k_Y = rnorm(1,k_X,prop_sd) ##候选点



## -- 绘制链的核密度估计





lines(density(track,adjust=1.5),col='red',lwd=2)



## -- 绘制链


plot(track,1:i,xlim=plot_range,main='',type='l',ylab='Trace')




## -- 绘制目标分布和提议分布 



curve(dnorm(x,k_X,prop_sd),col='black',add=TRUE)

abline(v=k_X,lwd=2)




## 接受概率为a_X_Y 

if (log(runif(1))<=a_X_Y)



points(k_Y,0,pch=19,col='green',cex=2)



## 调整提议

if(i>100)

prop_sd=sd(track[floor(i/2):i])

该算法实现中的一个普遍问题是σ的选择。当σ接近目标分布的标准偏差时，将发生有效混合（链收敛到目标分布）。当我们不知道这个值时。我们可以允许σ根据到目前为止的链历史记录进行调整。在上面的示例中，将σ更新为链中某些先验点的标准偏差值。

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