在 SVM 白板推导| 由最大间隔化目标演化的损失函数推导过程 中白板手推了 SVM 的原理，并介绍了硬间隔核函数的实现原理及公式推导，这一节我来详细介绍下 SVM 中的 Keynel Function。
一直以来我们只知道核函数能让 SVM 在高维空间中实现非线性可分，那么，核函数是在什么情况下被提出的呢？又有哪几种核函数呢？
本篇文章从 2 个角度讲解 SVM 核函数。
- 非线性带来高维转换 (模型角度)，$X → Φ(X)$
- 对偶表示带来内积 (优化角度)，$x_i^Tx_j$
从线性可分到线性不可分
如下表中介绍了 感知机 PLA 和 SVM 从线性可分到非线性可分的模型演变结果。
而在线性不可分的情况下，如果让模型能够变得线性可分？上面已经讲了，从 2 个角度来理解。
1. 非线性带来高维转换，引入 $Φ(X)$
我们知道高维空间中的特征比低维空间中的特征更易线性可分，这是一个定理，是可以证明的，这里只需要知道就行。
那么，我们就可以想到一个办法，就是把在输入空间中的特征通过一个函数映射到高维空间。
假设输入空间有一个点 $X=(x_1, x_2)$，是二维的，我们通过一个函数 $Φ(X)$ 将其映射到三维空间 $Z=(x_1,x_2,(x_1-x_2)^2)$，从二维到三维空间中的表示为：
2. 对偶表示带来内积，引入核函数
从另一个角度来看，之前我们已经推导出 SVM 的损失函数，Hard-Margin SVM 的对偶问题中，最终的优化问题只与 X 的内积有关，也即是支持向量有关。
由此，我们可以将 X 的内积表示为 $Φ(X)$ 的内积 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$。
而我们现实生活中，可能 $Φ(X)$ 并不是上面举例的三维或者更高维，而是无限维，那么 的 $Φ(X)$ 将会非常难求。
换个角度思考，其实我们关心的只是 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 的内积，并不关心 $Φ(X)$。有没有一种方法能直接求出内积？答案是有的。
我们可以引入核函数 keynel function。
如上中的一个核函数，我们可以直接求出 X 的内积，避免在高维空间中求 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$。
针对核函数，我们可以总结出 3 点。
- 当在线性不可分的时候，我们可以将输入空间中的特征映射到高维空间，来实现线性可分。
- 在高维空间中，由于计算 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 非常困难，因为 $Φ(X)$ 可能有无限维。
- 因此，我们引入核函数，将原本需要在高维空间计算的内积变成在输入空间计算内积，也能达到一样的效果，从而减小计算。
核函数存在条件
定理： 令 $χ$ 为输入空间，$k(⋅,⋅)$ 是定义在 $χ×χ$上的对称函数，则 $k$ 是核函数当且仅当对于任意数据$D=x_1,x_2,⋯,x_m$，“核矩阵” $K$ 总是半正定的：
定理表明，只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定，那么它就可以作为核函数使用。事实上，对于一个半正定核矩阵，总能找到一个与之对应的映射 $ϕ(X)$。换言之，任何一个核函数都隐式定义了一个称为 “再生核希尔伯特空间” 的特征空间。
常见的核函数
通过前面的介绍，核函数的选择，对于非线性支持向量机的性能至关重要。但是由于我们很难知道特征映射的形式，所以导致我们无法选择合适的核函数进行目标优化。于是 “核函数的选择” 称为支持向量机的最大变数，我们常见的核函数有以下几种：
此外，还可以通过函数组合得到，例如：
- 若 $k_1$ 和 $k_2$ 为核函数，则对于任意正数 $γ_1,γ_2$，其线性组合也是核函数。$γ_1k_1+γ_2k_2$
- 若 $k_1$ 和 $k_2$ 为核函数，则核函数的直积也是核函数。$k_1⨂k_2(x,z)=k_1(x,z),k_2(x,z)$
- 若k_1k1为核函数，则对于任意函数 $g(x)$ 也是核函数。 $k(x,z)=g(x)k_1(x,z)g(z)$
对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 $κ(⋅,⋅)$，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。由于核函数的优良品质，这样的非线性扩展在计算量上并没有比原来复杂多少，这一点是非常难得的。
当然，这要归功于核方法——除了 SVM 之外，任何将计算表示为数据点的内积的方法，都可以使用核方法进行非线性扩展。
