2019年数学与机器学习研究精粹

Wesley13
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The Year in Math and Computer Science

__ 01 __概述

数学家和计算机科学家在重新审视我们对数学和神经网络的基本理解的同时,在数论、图论、机器学习和量子计算方面也取得了实质性进展。

这一年里,数学家和计算机科学家都没有闲着,有些重新审视了基本原理,另一些则是针对老问题提出了令人震惊的简单证明、新技术或者给出了新颖的见解。其中一些进展在物理学和其他学科中具有广泛的应用前景。而有些纯粹是为了获得新知识(或只是为了获得乐趣),但目前来看或许并没有什么实际用途。

关于神经网络理论提出了一些新见解,这可能为计算机科学家提供梦寐以求的理论基础,从而弄明白为什么深度学习算法能够如此成功。

同时,诸如矩阵和网络之类的普通数学对象在简短、优雅的证明中展现了出乎意料的新见解。而数论中已有数十年历史的老问题也出现了新的解决方案。

数学家们也更多地了解了规则和秩序是如何从混沌系统、随机数和其他看似混乱的领域中产生的。

机器学习领域继续战鼓声声催奋进,变得越来越强大了,甚至改变了科学研究的方法以及影响了更多的领域。而对于量子计算机领域来说,可能迎来了一个重大的里程碑。

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__ 02 __理论基石

如果等号(数学的基石)是错误的怎么办?越来越多的数学家(部分由数学家 Jacob Lurie 领导)想要改写他们的领域,用**等价来代替相等。当前,数学大厦是建立在集合论的基础上的,但是几十年前,数学家开始发展功能更为广泛的范畴论**,这一概念和理论能表达的信息多于集合,表达的关系多于相等性。自 2006 年以来,Lurie 写了数千页用于描述如何将现代数学转换为用范畴论的语言来书写。

最近,其他数学家已经开始为神经网络构建基本原理,这个领域并没有已有教条可以抛弃。当今最成功的机器学习算法在科学和社会中正变得越来越重要,但是人们并不真正了解它背后是如何工作的。今年1月,我们报道了一种正在发展中的神经网络理论,该理论解释了结构如何影响网络的能力。

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__ 03 __旧问题新认识

一条熟悉的路并不意味着它不能拥有新的秘密。数个世纪以来,数学家,物理学家和工程师一直使用称为**特征值特征向量的数学术语来描述矩阵是如何缩放、旋转或以其他方式来变换物体的。8月,三位物理学家和一位数学家描述了他们偶然发现的一个简单的新公式**,该公式以一种新的方式将特征值和特征向量联系在一起,使物理学家研究中微子的工作变得更加简单,同时产生了新的数学见解。文章发表后,研究人员了解到这种关系以前曾多次被发现但几乎都被忽略。

对于计算机科学领域的新见解,一位数学家突然证明了灵敏度猜想,并解决了该领域最大的开放问题之一。灵敏度猜想描述了通过改变单个输入来影响电路输出的可能性。证明简单明了,简洁到可以用一条推文来概括。

在图论的世界里,另一篇斯巴达式的论文(这篇论文只有三页厚)推翻了几十年来关于如何为网络节点选择最佳颜色的猜想,这一发现影响了地图、排座位以及数独游戏。

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__ 04 __数字新玩法

大家都在小学学习了乘法,但是今年3月,两位数学家描述了一种更好、更快的方法。不是将每个数字与其他数字相乘,这样很快就会因大数字而变得难以为继,而是可以结合一系列技术,包括相加、相乘和数字重排,从而大大减少计算步骤。实际上,这可能是大数乘法的最有效方法。

今年对数字世界的其他有趣洞见还包括: 终于找到一种将33表示为三个立方数之和的方法,证明了一个长久以来的猜想,即何时可以近似估算无理数(例如圆周率),并且加深了一组数字的和与乘积之间的联系。

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__ 05 __机器学习之成长的烦恼

科学家们越来越多地求助于机器,不仅是为了获取数据,而且也为了弄清数据的意义。3月,我们报道了机器学习正在改变科学研究的方式。例如,一种称为生成模型的建模方式,可能是形成和测试假设的第三种方式。尽管许多人仍将其视为仅仅是一种改进的信息处理方法,但它仅次于更传统的观察和模拟手段。Dan Falk 写道,无论哪种方式,都改变了科学发现的方式,当然也加速了它。

至于这些机器在帮助我们学习什么,比如,研究人员发布了模式发现算法,可以预测太平洋西北地区的地震;一个多学科团队正在通过基于大脑解剖结构的数学模型来解码视觉的工作原理。然而,实际上还有很长的路要走。德国的一个团队宣布,机器通常无法识别图像,因为它们专注于纹理而不是形状。另外,一个称为 BERT 的神经网络模型在阅读理解测试中击败了人类,不过有研究人员质疑说,这意味着这台机器真正理解内容了吗?或者仅仅是在考试方面取得了好成绩。

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__ 06 __量子计算机的下一步

多年的悬念被揭开,研究人员终于在今年实现了量子计算领域中里程碑式的事件。尽管与所有量子技术一样,这仍然是一个充满不确定性的研究。传统的经典计算机建立在二进制位的基础之上,而量子计算机则使用量子位来构建,通过量子位利用量子规则来提高计算能力。

2012年,John Preskill 创造了**量子优越性**一词来描述量子计算机优于经典计算机的那一时刻。量子系统表现得越来越快的报道使许多业内人士猜测我们今年将达到这一历史时刻,而 Google 在10月宣布这一时刻终于到来。但是,另一家科技公司 IBM 则不同意,他们认为 Google 的主张值得商榷。

尽管如此,这些年来构建可行的量子计算机的进展也激发了像 Stephanie Wehner 这样的研究人员来开发下一代产品,量子互联网。

原文链接

[1]

https://www.quantamagazine.org/quantas-year-in-math-and-computer-science-2019-20191223/

本文分享自微信公众号 - 机器学习与数学(Mathinside2016)。
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