CocosCreator中worldMatrix到底是什么(上)

1. (矩阵)Matrix是什么，有什么用

(矩阵)Matrix一个神奇的存在？在开发过程中对里边各项值的含义是不是抓耳挠腮，百思不得其解？今天我们就来庖丁解牛，拨开它的神秘面纱。由于内容较多，关于Cocos Creator 中的_worldMatrix会分为三篇文章完成。最终形成一个完整的demo

首先我们先看看在Cocos Creator编辑器中，对应图形的变化都有那些属性，如下图

红框的地方分别是位移、旋转、缩放、倾斜它们都一一对应一个变换矩阵。

Cocos Creator 中的（矩阵）Matrix 是一个长度16的一维数组，按照先列后行的顺序存储一个 4 x 4 的放方阵。数组索引 0 1 2 3 分别表示矩阵第一列第1 2 3 4 行的数据。在2d的游戏坐标系中，一个三维矩阵就可以满足基本的变换，但cocos creator 采用了四维矩阵，应该是为了和3d保持一致。矩阵表示如下(左边体现Mat4对应属性排列位置。右边表示代码中经常用到的变量a b c d tx ty与矩阵对应的位置信息)

$$ \left[ \begin{matrix} m00&m04&m08&m12\\ m01&m05&m09&m13\\ m02&m06&m10&m14\\ m03&m07&m11&m15\\ \end{matrix} \right] => \left[ \begin{matrix} a&c&0&0\\ b&d&0&0\\ 0&0&1&0\\ tx&ty&tz&1 \end{matrix} \right] $$

这样的信息有什么用呢？用来存储节点 旋转 缩放 倾斜 平移的图形变换信息。要想知道其中缘由，复习一下线性代数及高数是很有必要的

矩阵乘法，以及相关性质
单位矩阵、逆矩阵、矩阵转置
向量
齐次坐标
三角函数

有了以上知识，我们就可以简单的推导下2d情况下，图形变换对应的4中情况

2. 旋转矩阵推导

在2d坐标系中，假设存在点（x,y）,我们将该点同原点（0，0）相连形成一个线段。此时线段与坐标系中x轴的弧度为a 。我们将在以原点为圆心,线段的长度半径r。逆时针旋转弧度 b，该条线段另外一端坐标变为（x1,y1)，如下图(左1)

CocosCreator中worldMatrix到底是什么(上)

三个函数相关知识

正弦函数和余弦函数
sin(a)=y/r => y = r*sin(a)
cos(a)=x/r => x = r*cos(a)
和角公式
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

由三角函数可以推导出
x1 = rcos(a+b) = rcos(a)cos(b) - rsin(a)sin(b) = xcos(b) - y*sin(b)
y1 = rsin(a+b) =rsin(a)cos(b) + rcos(a)sin(b) = ycos(b) + xsin(b) = xsin(b)+y*sin(b)
转换矩阵形式 B=AX

$$ \left[ \begin{matrix} x1\\y1\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos(b)&-sin(b)&0\\ sin(b)&cos(b)&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right] $$

在cocos creator中，采用行矩阵的写法。以上在cocos creator实际运行形式如下,转换公式如下 $B^T=X^T*A^T$。cocos creator 中剩下的缩放，倾斜，平移，请按照转置矩阵，自行推导。

$$ \left[ \begin{matrix} x1&y1&1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x&y&1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} cos(b)&sin(b)&1\\ -sin(b)&cos(b)&1\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] $$

3. 缩放矩阵推导

在2d坐标系中，假设存在点（x,y）缩放就是将坐标的x或y分别乘以一个缩放因子sx或sy。得到一个新的坐标（x1,y1），如下图左2。

CocosCreator中worldMatrix到底是什么(上)

由此可得到缩放公式
x1=xsx = xsx + y*0
y1=xsy = x0 + y*sy
转换矩阵形式 B=AX

$$ \left[ \begin{matrix} x1\\y1\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} sx&0&0\\ 0&sy&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right] $$

4. 倾斜矩阵推导

在2d坐标系中，假设存在点（x,y）倾斜分为x轴倾斜以及y轴倾斜。沿x轴倾斜，就是将该点与点（x,0）连接而成的线段，以（x,0）为圆心，旋转弧度a。如下图（左3，左4）得到一个新的坐标（x1,y1）。

CocosCreator中worldMatrix到底是什么(上)

由此可得到倾斜公式

沿x轴倾斜弧度a （图左3）
x1=x+ytan(a)
y1=y
转换矩阵形式 B=AX

$$ \left[ \begin{matrix} x1\\y1\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1&tan(a)&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right] $$

沿y轴倾斜弧度a （图左4）
x1=x
y1=y+xtan(a)=xtan(a)+y
转换矩阵形式 B=AX

$$ \left[ \begin{matrix} x1\\y1\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ tan(a)&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right] $$

5. 平移矩阵推导

在2d坐标中，假设存在点（x,y）平移分别是将 x 或 y 加上 x方向位移 tx 或 y方向位移 ty。从而得到新的点坐标（x1,y1）(图左5)

CocosCreator中worldMatrix到底是什么(上)

此可得到公式

x1=x+tx
y1=y+ty

转换矩阵形式 B=AX

$$ \left[ \begin{matrix} x1\\y1\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1&0&tx\\ 0&1&ty\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right] $$