1.题目要求
实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
示例 1:
输入: 4 输出: 2
示例 2:
输入: 8 输出: 2 说明: 8 的平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
2.初次尝试
这道题很明显不是让我们调用 Math.sqrt() 方法来计算，而是自己实现一个求平方根的算法。第一反应想到的方法是暴力循环求解！从 1 开始依次往后求平方数，当平方数等于 x 时，返回 i ；当平方数大于 x 时，返回 i - 1。
1 class Solution {
2 public int mySqrt(int x) {
3 for(int i = 0; i <= x; i++) {
4 if(i * i >= x){
5 if(i * i == x)
6 return i;
7 else
8 return i - 1;
9 }
10 }
11 return 0;
12 }
13 }
这种方案通过了测试，但是成绩惨不忍睹：
执行用时 : 105 ms, 在Sqrt(x)的Java提交中击败了5.53% 的用户
内存消耗 : 33.1 MB, 在Sqrt(x)的Java提交中击败了83.60% 的用户
好奇心驱使下，我用了 Math.sqrt() 方法又提交了一遍答案：
1 class Solution {
2 public int mySqrt(int x) {
3 return (int)Math.sqrt(x);
4 }
5 }
成绩有点无解：
执行用时 : 5 ms, 在Sqrt(x)的Java提交中击败了99.24% 的用户
内存消耗 : 33.2 MB, 在Sqrt(x)的Java提交中击败了80.86% 的用户
这样一道乍看之下有点“蠢”的题目，其实有很多可以深究的地方。Math.sqrt() 用的是什么算法？求平方数的算法还有哪些？
Google 了一下“求平方根”，看到了两个出镜率最高的名词，一个是我们耳熟能详的“二分法”，另一个则是我第一次听说的“牛顿迭代法“。难得五一假期有空，决定了解一下”牛顿迭代法“并自己写出基于此算法的解题答案。
3.牛顿迭代法
我是根据知乎上一个回答了解牛顿迭代法的，链接贴出来了，有兴趣的朋友可以移步去看一下。这里简单的通过他的文章说明一下思路。
如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？www.zhihu.com
这种算法的一个重要的思想是：切线是曲线的线性逼近。基于这种思想，牛顿尝试用切线来研究曲线的问题，例如用切线的根近似的求出曲线的根。然后他观察到一个现象，当在曲线上取某一点作切线时，以该切线的根作垂线，在垂线和曲线的交点处再作切线，以此循环往复，切线的根逐渐会逼近曲线的根。如图所示（A点时第一个取的点）。
当然，其实这种迭代并不是一定能保证会向曲线的根逼近，具体原因可以移步上述链接。但是求二次方程的根是没有问题的。
4.牛顿迭代法求平方根
回归到题目，求 a 的平方根，实际上可以转换成求二次方程 x^2 - a = 0 的解的问题。然后可以作出该二次方程的曲线，通过迭代逼近曲线 y = 0 处 x 的值，该 x 即是需要求得的答案。提现到程序中如下：
1 class Solution {
2 public int mySqrt(int x) {
3 if(x == 1)
4 return 1;
5 double _x = x >> 1;
6 double _y = _x * _x - x;
7 double a = (-_y + 2 * _x * _x) / 2 / _x;
8 while(_y > 0.1 || _y < -0.1){
9 _x = a;
10 _y = _x * _x - x;
11 a = (-_y + 2 * _x * _x) / 2 / _x;
12 }
13 return (int)_x;
14 }
15 }
这个程序很直观的反应了迭代的过程，"_x" 是二次方程的横坐标，"_y" 是方程的纵坐标，"a" 是切线与 x 轴的交点处的横坐标。选取的第一点为 x / 2 作为横坐标，当 _y 的值逼近 0 的时候，返回 _x。该方法的成绩很接近 Math.sqrt()，结果为：
执行用时 : 6 ms, 在Sqrt(x)的Java提交中击败了92.91% 的用户
内存消耗 : 33.7 MB, 在Sqrt(x)的Java提交中击败了75.11% 的用户
5.简化
这里其实可以注意到，该二次方程一定是关于 y 轴对称的，而且二次方程在迭代过程中，若初始点在根的右边，则迭代的点会一直出现在根的右边，且一直逼近根。我们要找的其实是比根小的最大的整数，可以把 a 换成 int 类型，在逼近过程中，当 a 第一次小于等于 x / a 时，返回 a。
对程序进行简化，去掉一些不必要的参数，优化最后判断足够逼近的方式，最后程序为：
1 class Solution {
2 public int mySqrt(int x) {
3 if(x == 1 || x == 0)
4 return x;
5 int a = x >> 1;
6 while(a > x / a){
7 a = (a + x/a) / 2;
8 }
9 return a;
10 }
11 }
