754. 到达终点数字 : 逐步剖析如何取得最小步数

题目描述

这是 LeetCode 上的 754. 到达终点数字 ，难度为中等。

Tag : 「数学」

在一根无限长的数轴上，你站在 0 的位置。终点在 target 的位置。

你可以做一些数量的移动 numMoves :

每次你可以选择向左或向右移动。
第 i 次移动（从 i == 1 开始，到 i == numMoves），在选择的方向上走 i 步。

给定整数 target，返回到达目标所需的最小移动次数(即最小 numMoves ) 。

示例 1:

输入: target = 2

输出: 3

解释:
第一次移动，从 0 到 1 。
第二次移动，从 1 到 -1 。
第三次移动，从 -1 到 2 。

示例 2:

输入: target = 3

输出: 2

解释:
第一次移动，从 0 到 1 。
第二次移动，从 1 到 3 。

提示:

$-10^9 <= target <= 10^9$
$target != 0$

数学

提示一：数轴上的任意点都以起点（$0$ 点）对称，只需要考虑对称点的任意一边

由于题目没有限制我们「不能到达哪些点」以及「出发的起始方向」，因此以起点为中心的左右两边对称。

即：左边所能到达任意一个点，都能通过调整所达路径的方向来将终点调整到右边。

同时由于起点是一个特殊的位置 $0$ 点，因此相应的「正数点」和「负数点」对称，我们仅需考虑一边（例如正数域）即可。

提示二：先往靠近 `target` 的方向移动，到达或越过 `target` 的时候则停止

只考虑 target 为正的情况，我们假定起始先往靠近 target 的方向移动（即所有步数均为正值），根据是「到达」还是「越过」target 位置分情况讨论：

若能直接到达 target，此时消耗的必然是最小步数，可直接返回；
若越过了 target，假设此时消耗的步数为 $k$，所走的距离为 $dist = \frac{k \times (k + 1)}{2} > target$，我们可以考虑是否需要增加额外步数来到达 target。

提示三：越过 `target` 时，如何不引入额外步数

若不引入额外步数，意味着我们需要将此前某些移动的方向进行翻转，使得调整后的 $dist = target$。

我们假设需要调整的步数总和为 tot，则有 $dist - 2 \times tot = target$，变形可得 $tot = \frac{dist - target}{2}$。

若想满足上述性质，需要确保能找到这样的 tot，即 tot 合法，

不难推导出当 dist 和 target 差值为「偶数」时（两者奇偶性相同），我们可以找到这样的 tot，从而实现不引入额外步数来到达 target 位置。

由于我们的 $dist$ 是由数列 $[1,2,3,...,k]$ 累加而来，因此必然能够在该数列 $[1,2,3...k]$ 中通过「不重复选择某些数」来凑成任意一个小于等于 $dist$ 的数。

提示四：越过 `target` 时，如何尽量减少引入额外步数

当 dist 和 target 差值不为「偶数」时，我们只能通过引入额外步数（继续往右走）来使得，两者差值为偶数。

可以证明，最多引入步数不超过 $4$ 步，可使用得两者奇偶性相同，即不超过 $4$ 步可以覆盖到「奇数」和「偶数」两种情况。

根据 $k$ 与 $4$ 的余数关系分情况讨论：

余数为 $0$，即 $k = 4X$，由于 $dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{4X(4X+1)}{2} = 2X(4X+1)$，其中一数为偶数，$dist$ 为偶数；
余数为 $1$，即 $k = 4X + 1$，由于 $dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+1)(4X+2)}{2} = (4X+1)(2X+1)$，两个奇数相乘为奇数，$dist$ 为奇数；
余数为 $2$，即 $k = 4X + 2$，$dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+2)(4X+3)}{2} = (2X+1)(4X+3)$，两个奇数相乘为奇数，$dist$ 为奇数；
余数为 $3$，即 $k = 4X + 3$，$dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+3)(4X+4)}{2} = (4X+3)(2X+2)$，其中一数为偶数，$dist$ 为偶数。

因此在越过 target 后，最多引入不超过 $4$ 步可使得 dist 和 target 奇偶性相同。

提示五：如何不通过「遍历」或「二分」的方式找到一个合适的 `k` 值，再通过不超过 $4$ 步的调整找到答案

我们期望找到一个合适的 k 值，使得 $dist = \frac{k \times (k + 1)}{2} < target$，随后通过增加 k 值来找到答案。

利用求和公式 $dist = \frac{k \times (k + 1)}{2}$，我们可以设定 $k = \left \lfloor \sqrt{2 \times target}) \right \rfloor$ 为起始值，随后逐步增大 k 值，直到满足「dist 和 target 奇偶性相同」。

Java 代码：

class Solution {
    public int reachNumber(int target) {
        if (target < 0) target = -target;
        int k = (int) Math.sqrt(2 * target), dist = k * (k + 1) / 2;
        while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
            k++;
            dist = k * (k + 1) / 2;
        }
        return k;
    }
}

TypeScript 代码：

function reachNumber(target: number): number {
    if (target < 0) target = -target
    let k = Math.floor(Math.sqrt(2 * target)), dist = k * (k + 1) / 2
    while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
        k++
        dist = k * (k + 1) / 2
    }
    return k
}

Python 代码：

class Solution:
    def reachNumber(self, target: int) -> int:
        if target < 0:
            target = -target
        k = int(math.sqrt(2 * target))
        dist = k * (k + 1) / 2
        while dist < target or (dist - target) % 2 == 1:
            k += 1
            dist = k * (k + 1) / 2
        return k