【面试高频题】二叉树"神级遍历"入门

题目描述

这是 LeetCode 上的 99. 恢复二叉搜索树 ，难度为中等。

Tag : 「二叉树」、「树的搜索」、「递归」、「迭代」、「中序遍历」、「Morris 遍历」

给你二叉搜索树的根节点 root，该树中的恰好两个节点的值被错误地交换。请在不改变其结构的情况下，恢复这棵树。

示例 1：
【面试高频题】二叉树

输入：root = [1,3,null,null,2]

输出：[3,1,null,null,2]

解释：3 不能是 1 的左孩子，因为 3 > 1 。交换 1 和 3 使二叉搜索树有效。

示例 2：
【面试高频题】二叉树

输入：root = [3,1,4,null,null,2]

输出：[2,1,4,null,null,3]

解释：2 不能在 3 的右子树中，因为 2 < 3 。交换 2 和 3 使二叉搜索树有效。

提示：

树上节点的数目在范围 $[2, 1000]$ 内
$-2^{31} <= Node.val <= 2^{31} - 1$

进阶：使用 $O(n)$ 空间复杂度的解法很容易实现。你能想出一个只使用 $O(1)$ 空间的解决方案吗？

基本分析

首先，别想复杂了。

所谓的恢复二叉树（两节点互换），只需要将两节点的 val 进行互换即可，而不需要对节点本身进行互换。

中序遍历 - 递归 & 迭代

二叉搜索树，其中序遍历是有序的。

要找到哪两个节点被互换，可通过比对中序遍历序列来实现。

但将整个中序遍历序列保存下来，再检测序列有序性的做法，复杂度是 $O(n)$ 的（不要说题目要求的 $O(1)$，连 $O(h)$ 都达不到）。

所以第一步，这个「递归 & 迭代」的次优解，我们先考虑如何做到 $O(h)$ 的空间复杂度，即在中序遍历过程中找到互换节点。

其实也很简单，除了使用 a 和 b 来记录互换节点，额外使用变量 last 来记录当前遍历过程中的前一节点即可：

若存在前一节点 last 存在，而且满足前一节点值大于当前节点（last.val > root.val），违反“有序性”，根据是否为首次出现该情况分情况讨论：

若是首次满足条件，即 a == null，此时上一节点 last 必然是两个互换节点之一，而当前 root 只能说是待定，因为有可能是 last 和 root 实现互换，也有可能是 last 和后续的某个节点实现互换。
此时有 a = last, b = root
若是非首次满足条件，即 a != null，此时当前节点 root 必然是两个互换节点中的另外一个。
此时有 b = root

综上：如果整个中序遍历的序列中“逆序对”为一对，那么互换节点为该“逆序对”的两个成员；若“逆序对”数量为两对，则互换节点为「第一对“逆序对”的首个节点」和「第二对“逆序对”的第二个节点」。

Java 代码（递归）：

class Solution {
    TreeNode a = null, b = null, last = null;
    public void recoverTree(TreeNode root) {
        dfs(root);
        int val = a.val;
        a.val = b.val;
        b.val = val;
    }
    void dfs(TreeNode root) {
        if (root == null) return ;
        dfs(root.left);
        if (last != null && last.val > root.val) {
            if (a == null) {
                a = last; b = root;
            } else {
                b = root;
            }
        }
        last = root;
        dfs(root.right);
    }
}

Java 代码（迭代）：

class Solution {
    public void recoverTree(TreeNode root) {
        Deque<TreeNode> d = new ArrayDeque<>();
        TreeNode a = null, b = null, last = null;
        while (root != null || !d.isEmpty()) {
            while (root != null) {
                d.addLast(root);
                root = root.left;
            }
            root = d.pollLast();
            if (last != null && last.val > root.val) {
                if (a == null) {
                    a = last; b = root;
                } else {
                    b = root;
                }
            }
            last = root;
            root = root.right;
        }
        int val = a.val;
        a.val = b.val;
        b.val = val;
    }
}

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(h)$，其中 $h$ 为树高

中序遍历 - Morris 遍历

Morris 遍历也就是经常说到的“神级遍历”，其本质是通过做大常数来降低空间复杂度。

还是以二叉树的中序遍历为例，无论是递归或是迭代，为了在遍历完左节点（也可以是左子树）时，仍能回到父节点，我们需要使用数据结构栈，只不过在递归做法中是用函数调用充当栈，而在迭代做法则是显式栈。

这使得空间复杂度为 $O(h)$，而 Morris 遍历的核心则是利用“路径底部节点”中的空闲指针进行线索。

举个 🌰，对于一棵最简单的二叉树：

【面试高频题】二叉树

在中序遍历过程中，如果选择递归或迭代方式，并且不使用栈的情况，当遍历完左子节点（或左子树的最后一个节点）后，将会面临无法返回根节点的问题。

在 Morris 遍历中，从根节点开始，尚未真正遍历左子节点之前，就会先建立「左子节点（或左子树的最后一个节点）」与「当前根节点」之间的链接，从而避免使用栈。

具体的，Morris 遍历的中序遍历遵循如下流程（喜欢的话可以背过）：

令根节点为当前节点
只要当前节点不为空（while (root != null) ），重复执行如下流程：
- 若当前节点的左子节点为空（root.left = null），将当前节点更新为其右子节点（root = root.right)
- 若当前节点的左子节点不为空，利用临时变量 t 存储，找到当前节点的前驱节点（左子树中最后一个节点）：
  - 若前驱节点的右子节点为空（t.right = null），将前驱节点的右子节点链接到当前节点（t.right = root），并将当前节点更新为左子节点（root = root.left）
  - 若前驱节点的右子节点不为空，说明已链接到当前节点，此时将前驱节点的右子节点置空（删除链接 t.right = null），遍历当前节点，并将当前节点更新为右子节点（root = root.right）

Java 代码：

class Solution {
    public void recoverTree(TreeNode root) {
        TreeNode a = null, b = null, last = null;
        while (root != null) {
            if (root.left == null) {
                if (last != null && last.val > root.val) {
                    if (a == null) {
                        a = last; b = root;
                    } else {
                        b = root;
                    }
                }
                last = root;
                root = root.right;
            } else {
                TreeNode t = root.left;
                while (t.right != null && t.right != root) t = t.right;
                if (t.right == null) { // 若前驱节点右子树为空, 说明是真正遍历左子树前, 建立与当前根节点的链接, 然后开始真正遍历左子树
                    t.right = root;
                    root = root.left;
                } else {  // 若已存在链接, 说明是第二次访问根节点, 左子树（前驱节点）已遍历完, 此时应该解开链接, 遍历当前节点以及右子树
                    t.right = null;
                    if (last != null && last.val > root.val) {
                        if (a == null) {
                            a = last; b = root;
                        } else {
                            b = root;
                        }
                    }
                    last = root;
                    root = root.right;
                }
            }
        }
        int val = a.val;
        a.val = b.val;
        b.val = val;
    }
}